Dasar Pengukuran Vibrasi (2/4)

Sedikit Matematika

Bayangkan kita memiliki Roda yang berputar secara tidak seimbang karena adanya titik massa (Off-center mass) yang terletak di pinggir roda tersebut. Getaran Roda tersebut kita deteksi dengan memasang Displacement Sensor pada satu titik. Kita ketahui bahwa sensor tersebut mengukur Jarak/Gap antara roda dengan sensor tersebut. Jika kita plot kan pada grafik, maka didapatkan Grafik gelombang Cosinus seperti di bawah ini :

"Jarak/Gap antara roda dengan sensor tersebut berada pada titik terdekat (Near) pada sudut 0 derajat. Dan maksimum (Far) pada sudut 180 derajat"

Kita dapat menuliskan fenomena tersebut ke persamaan matematis di bawah ini :

x = D cos ωt + b

Dimana,

x = Perpindahan sebagaimana diukur oleh sensor dalam waktu tertentu (t) 

D = Amplitudo getaran 

ω = kecepatan sudut (rad/s)

b = Bias pengukuran

t = Waktu (s)

Misalkan Roda tersebut berputar pada 1720 rpm (konversi ke radian/s = 1720 rotasi/1 minute . 1 minute/60 s . 2π/1 rotasi atau sama dengan 180.1 rad/s) kita dapatkan sudut antara sensor dengan roda sebagai berikut :

"Terbukti bahwa pada sudut 0 derajat, Gap antara roda dan sensor merupakan yang terdekat karena hasil dari cos ωt adalah +1. Begitu juga saat sudut 180 derajat, Gap tersebut merupakan yang terjauh karena hasil dari cos ωt adalah -1"

Kita ketahui juga bahwa Kecepatan merupakan turunan perpindahan terhadap waktu. Secara matematis kita tuliskan :

Dimana,

v = Kecepatan  

x = Perpindahan

t = waktu 

Kita turunkan persamaan perpindahan (x) diatas untuk mendapatkan kecepatan

Terus,

Kita ketahui bahwa 

 

dan 

 dimana akan menghapus konstanta b

hasil dari penurunan tersebut adalah :

v = −ωD sin ωt

Dari persamaan diatas dapat kita simpulkan bahwa kecepatan "goyangan" roda tersebut akan meningkat sebanding dengan kecepatan sudut nya (ω). Atau dengan kata lain peningkatan kecepatan sudut mengakibatkan Roda tersebut berpindah karena vibrasi dalam waktu yang lebih singkat, yang mana akan mengakibatkan vibrasi pada kecepatan yang lebih tinggi.

Kita lanjutkan dengan menurunkan persamaan tersebut untuk mengetahui percepatan vibrasi.

Karena sudah pernah sinau kalkulus kita tahu bahwa hasilnya adalah 

Dari persamaan tersebut kita ketahui bahwa akselerasi "goyangan" roda tersebut meningkat seiring dengan kuadrat kecepatan sudut (ω). Kita ketahui bahwa Gaya lateral yang diberikan ke Roda dan Shaft sebanding dengan percepatan lateral dan massa dari Roda tersebut berdasarkan Hukum kedua Newton :

F = ma

Dengan menggabungkan persamaan diatas kita ketahui bahwa Gaya yang diakibatkan vibrasi meningkat secara drastis dengan peningkatan kecepatan sudut nya (ω kuadrat). 

Inilah mengapa Vibrasi menjadi sangat berbahaya pada mesin dengan rpm yang tinggi. 

Seperti dibahas pada Laman sebelumnya, perpindahan (D) dinyatakan dalam mils, dengan satu "mil" sebanding dengan 1/1000 inch. Kecepatan Vibrasi dalam inch per second dan percepatan vibrasi dalam G. 

Untuk mendapatkan pemahaman mengenai penggunaan satuan ini kita berikan contoh kasus dimana terdapat Mesin yang bergetar Sinusoidal dengan Amplitudo/ Perpindahan Max (D) sebesar 2 mils (0,002 inch) pada kecepatan putaran 1720 rpm (revolutions per minute). Frekuensi dari putaran ini adalah 28,677 Hz (1720 rotation / 1 minute . 1 minute/60 s, atau 180,1 rad/s (28,667 . 2π)

Jika D merupakan simpangan maksimum, maka ωD merupakan laju maksimum (maksimum laju perubahan tiap waktu). Dengan nilai 0,360 inch/s 

Jika kita menurunkan persamaan tadi sekali lagi maka didapatkan bahwa  merupakan percepatan maksimum. setelah kita hitung didapatkan nilai 64,9 inch/s^2.

Kita ketahui bahwa percepatan gravitasi bumi rata - rata (g) adalah 32,17 feet per second squared. atau sama dengan 386 inch per second squared. Dengan inilah kita mendapatkan nilai "G" yang merupakan rasio terhadap gravitasi bumi :

Dengan mengetahui nilai "G" akan memudahkan kita untuk menghitung nilai Gaya yang diberikan kepada Mesin yang berputar. Jika suatu mesin yang berputar memiliki Berat 1200 pounds (dalam 1 "G" Gravitasi Bumi) maka gaya yang diberikan oleh percepatan vibrasi sebesar 0,168 G adalah 16,8% dari beratnya atau sebesar 201,7 pounds.